30/09/21 ore 9-11. Numeri naturali, interi, razionali e reali: notazioni, richiami sulle espressioni decimali dei numeri razionali, esistenza di numeri irrazionali, la retta reale, intervalli limitati e illimitati. Funzioni: dominio, immagine e grafico, rappresentazione sul piano cartesiano del grafico di una funzione reale di una variabile, relazione tra il grafico e dominio e tra grafico e immagine. Potenze con esponente razionale, cenni alla definizione delle potenze con esponente irrazionale. Funzioni potenza con esponente reale. Inizio dello studio diretto delle funzioni potenza con esponente intero: calcolo di alcuni punti e disegno del grafico delle funzioni identità elevamento al quadrato ed elevamento al cubo. Funzioni pari e dispari e proprietà dei loro grafici.
01/10/21 ore 9-11. Funzioni monotone. Generalizzazione di prodotti notevoli: il rapporto (an−bn)/ (a−b) con n intero positivo qualunque. Composizione di funzioni, funzione inversa. Iniettività, suriettività, invertibilità. Restrizioni. Monotonia delle funzioni potenza con esponente reale positivo.
05/10/21 ore 11-13. Monotonia e grafico qualitativo delle funzioni potenza con esponente intero negativo e con esponente reale negativo qualunque. Richiami su rette, parabole e disequazioni polinomiali di primo e secondo grado (metodo grafico). Tabella del segno di una funzione. Esercizio svolto su dominio naturale di una funzione. Il coefficiente angolare di una retta come rapporto incrementale. Anticipazioni su derivabilità, derivata, integrale indefinito e definito.
07/10/21 ore 9-11. Funzioni esponenziali e logaritimiche: definizione, monotonia, grafico, esempi. Disequazioni esponenziali e logaritimiche.
08/10/21 ore 9-11. Esercizi svolti in aula su: dominio naturale e segno di alcune funzioni. Richiami sulle grandezze trigonometriche: misura in radianti di un angolo, definizione di seno, coseno e tangente, proprietà fondamentali del seno e del coseno, richiami dei valori per alcuni angoli notevoli, interpretazione geometrica della tangente. Estensione per periodicità. Grafici delle funzioni sen x, cos x e tg x.
12/10/21 ore 11-13. Funzioni trigonometriche inverse. Funzioni e trasformazioni geometriche: relazione tra il grafico di una funzione f(x) e i grafici di f(x)+a, f(x+a), -f(x), f(-x), |f(x)|, f(|x|). Esempi ed esercizi svolti.
14/10/21 ore 9-11. Massimo, minimo, maggioranti, minoranti, insiemi limitati superiormente o inferiormente, estremo superiore ed estremo inferiore di un sottoinsieme dei reali. Enunciato del teorema di completezza. Esercizi svolti. Massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore di una funzione reale. Intorni sferici. Massimi e minimi relativi di una funzione reale.
15/10/21 ore 9-11. Nozioni topologiche di base: punti interni, esterni, di frontiera, insiemi aperti, insiemi chiusi, punti di accumulazione e punti isolati. Intorni di +∞ e di -∞. Definizione generale di limite. Esempi di specializzazione della definizione. Alcuni esempi sulle funzioni elementari. Limiti da destra e da sinistra.
19/10/21 ore 11-13. Limiti per eccesso e per difetto. Definizione di continuità e limiti delle funzioni elementari. Aritmetica dei limiti: limiti della somma, del prodotto e del quoziente di due funzioni, aritmetica estesa a R∪{+∞, -∞}, forme indeterminate. Limiti con denominatore infinitesimo. Limiti a +∞ e a -∞ delle fuzioni polinomiali e razionali. Esercizi svolti.
21/10/21 ore 9-11. Limiti di funzioni composte: teorema principale ed esempi di applicazione. Composizione di funzioni monotone: teorema principale, dimostrazione ed esempi di applicazione. Asintoti. Esercitazione su dominio naturale, segno e asintoti di una funzione.
22/10/21 ore 9-11. Teoremi della permanenza del segno e del confronto (solo enunciato). Applicazione: limiti notevoli di funzioni trigonometriche. Confronto di infiniti e di infinitesimi: terminologia, tecniche di calcolo (riduzione di forme del tipo più infinito meno infinito e zero per infinito a forme di tipo zero su zero e infinito su infinito), enunciato del teorema di confronto degli infiniti per le funzioni potenza, logaritmiche ed esponenziali, esempi.
26/10/21 ore 11-13 - 1 ora di lezione. Funzioni polinomiali di secondo grado: completamento del quadrato, dimostrazione che il grafico della parabola di equazione y=ax2+bx+c si ottiene traslando il grafico di y=ax2, formula per le coordinate del vertice, formula per le radici di un polinomio di secondo grado. Fattoriale di un numero naturale, coefficienti binomiali, sommatorie, formula di Newton per la potenza di un binomio.
28/10/21 ore 9-11. Casi speciali della fomula di Newton per la potenza di un binomio. Principio di induzione, enunciato ed esempi di applicazione. Dimostrazione del teorema sul confronto degli infiniti per funzioni potenza ed esponenziali. Esercizi.
29/10/21 ore 9-11. Teorema sui limiti delle funzioni monotone. Definizione del numero di Nepero. Altri limiti notevoli. Svolgimento di esercizi su limiti, confronto di infiniti, asintoti.
02/11/21 ore 11-13. Tecniche di calcolo sui limiti: asintoti della radice quadrata di un polinomio quadratico; forme indeterminate di tipo esponenziale. Infiniti e infinitesimi dello stesso ordine, funzioni asintotiche, simboli di Landau.
04/11/21 ore 9-11. Successioni convergenti, divergenti e irregolari, sottosuccessioni, enunciato del Teorema di Bolzano-Weierstrass per R e sue conseguenze, compattezza per successioni, i sottoinsiemi compatti di R sono i chiusi limitati. Definizione di continuità, punti di discontinuità, teorema dell'esistenza degli zeri e dei valori intermedi per le funzioni continue su un intervallo, teorema di Weierstrass sulle funzioni continue su un compatto.
05/11/21 ore 9-11. Monotonia e iniettività per le funzioni continue su un intervallo. Somma, prodotto, quoziente e composizione di funzioni continue. Esercizi svolti: funzioni continue a tratti e punti di discontinuità, funzioni elementari, trasformazioni geometriche, composizioni con il valore assoluto.
09/11/21 ore 11-13. Retta tangente al grafico di una funzione, definizione di derivabilità e di derivata, calcolo diretto della derivata delle funzioni potenza con esponente intero, dell'esponenziale e del logaritmo in base naturale. Regole di derivazione: linearità, derivata di prodotti, quozienti e composizioni. Esempi ed esercizi.
11/11/21 ore 9-11. Derivata delle funzioni trigonometriche. Esercitazione sulle regole di derivazione.
12/11/21 ore 9-11. Monotonia e derivata di una funzione su un intervallo: enunciati e idee delle dimostrazioni del teorema principale, del teorema di Fermat sugli estremi locali, e dei teoremi di Rolle e di Lagrange. Esempi ed esercizi.
16/11/21 ore 11-13. Funzioni convesse su un intervallo: monotonia dei rapporti incrementali, esistenza delle derivate destra e sinistra e continuità nei punti interni, posizione delle rette tangenti, relazione con il segno della derivata seconda. Esercizi di preparazione alla prima prova parziale.
18/11/21 ore 9-11. Regole di de L'Hôpital. Polinomi di Taylor: definizione, proprietà, teorema di Peano. Esercizi di preparazione alla prima prova parziale.
19/11/21 ore 9-11. Svolgimento della prima prova parziale.
23/11/21 ore 11-13. Calcolo dello sviluppo di McLaurin di alcune funzioni. Conseguenze del Teorema di Peano sullo studio dei punti critici. Numeri complessi: motivazioni, definizione, piano complesso, coniugato, modulo, inverso. Cenni alla chiusura algebrica del campo dei numeri complessi.
26/11/21 ore 9-11. Richiami sui polinomi: radici e fattori di primo grado, molteplicità di una radice. Cenni ai polinomi irriducibili sui reali. Forma trigonometrica dei numeri complessi, forma esponenziale, forma trigonometrica di un prodotto, cenni alle radici n-esime complesse di 1. Integrali definiti: motivazioni e problemi. Integrali indefiniti: definizione, primitive delle funzioni potenza, esponenziali, seno e coseno, linearità, formula di integrazione per parti.
30/11/21 ore 11-13. Integrazione per parti e per sostituzione, primitive di log x e di tg x, svolgimento di esercizi. Integrabilità e integrale definito, classi di funzioni integrabili.
02/12/21 ore 9-11. Teorema della media, funzioni integrali e teorema fondamentale del calcolo integrale, esempi di calcolo di aree. Integrazione per sostituzione per gli integrali definiti, svolgimento di esercizi.
03/12/21 ore 9-11. Svolgimento di esercizi sul calcolo degli integrali e sullo studio di una funzione.
07/12/21 ore 11-13. Integrazione delle funzioni razionali: richiami su polinomi e divisibilità, scomposizione in fratti semplici, integrazione dei fratti semplici. Svolgimento di esercizi sugli integrali e sullo studio di funzioni.
09/12/21 ore 9-11. Svolgimento di esercizi sugli integrali e sullo studio di funzioni.
10/12/21 ore 9-11. Integrali impropri, integrabilità in senso improprio delle delle funzioni potenza con esponente negativo, teoremi del confronto e del confronto asintotico. Svolgimento di esercizi di riepilogo e di approfondimento.