08/10/19 ore 11-13. Presentazione del corso e indicazioni generali sulla preparazione richiesta e sui tempi e modi degli esami. Notazioni logiche e insiemistiche, intervalli reali. Insiemi di numeri, richiami sulle proprietà delle operazioni, struttura di campo degli insiemi dei razionali e dei reali. Irrazionalitą di √2. I reali come numeri decimali, esclusione del periodo 9, cenni alla proprietà archimedea. Potenze con esponente intero, radici, potenze con esponente razionale.
09/10/19 ore 11-13. Potenze con esponente reale. Funzioni, dominio, codominio, immagine, suriettività e iniettività, funzioni ristrette, prodotto cartesiano di due insiemi, grafico di una funzione. Funzioni reali di una variabile reale, dominio naturale, disegno del grafico sul piano cartesiano, grafico e immagine, proprietà del grafico e iniettività. Richiami su polinomi di secondo grado, parabole, disequazioni polinomiali di secondo grado, disequazioni razionali fratte. Definizione delle funzioni esponenziale e logaritmo.
15/10/19 ore 11-13. Esempi sui logaritmi. Relazione tra le proprietè delle potenze e quelle dei logaritmi. Maggioranti e minoranti, estremo superiore e estremo inferiore, massimo e minimo di un sottoinsieme dei numeri reali, esempi ed esercizi svolti in aula. Il valore assoluto, disequazioni con espressioni in valore assoluto. Funzioni crescenti o decrescenti.
16/10/19 ore 11-13. Funzioni monotone, monotonia stretta e iniettività. Composizione di funzioni, funzioni invertibili e funzione inversa, inversa di una funzione strettamente monotona, relazione tra il grafico di una funzione invertibile e quello della sua inversa. Funzioni potenza, definizione generale, casi speciali dell'esponente intero positivo, delle radici n-esime, dell'esponente intero negativo, insieme di definizione, simmetrie e studio della monotonia nei casi speciali, applicazione allo studio delle disequazioni.
17/10/19 ore 9-11. Monotonia delle funzioni esponenziali e logaritmiche. Analisi dei grafici dell'esponenziale e del logaritmo in base 2 e in base 1/2 e relazioni tra di essi. Proprietà generali dei grafici delle funzioni esponenziali e logaritmiche. Applicazione alle disequazioni. Composizione di funzioni monotone. Esercizi svolti in aula: insieme di definizione, segno e intervalli di monotonia di log(‑x2+7x‑6); varie disequazioni con esponenziali e logaritmi.
22/10/19 ore 11-13. Riepilogo delle proprietà delle funzioni potenza e loro grafici qualitativi nei casi di esponente reale qualunqe. Richiami sulle nozioni trigonometriche elementari: misura in radianti, coseno, seno e tangente di un angolo. Definizione delle funzioni seno e coseno su tutto R, definizione e dominio naturale della funzione tangente, grafici delle funzioni trigonometriche dirette, restrizioni invertibili, definizione e grafici delle funzioni trigonometriche inverse. Esercizi svolti in aula su insieme di definizione, segno e intervalli di monotonia di funzioni molto semplici.
23/10/19 ore 11-13. Funzioni, traslazioni e riflessioni: relazioni tra il grafico di f(x) e i grafici di f(x+a), di f(x)+a (a reale), di f(-x) e di -f(x). Composizione con il valore assoluto: relazioni tra il grafico di f(x) e i grafici di f(|x|) di |f(x)|. Richiami: equazione della retta, rette verticali, rette non verticali, rapporto incrementale e significato geometrico del coefficiente angolare, rette per l'origine, caso generale. Funzioni f(x)=ax2 (a reale), completamento dei quadrati e dimostrazione del fatto che il grafico di y=ax2+bx+c si ottiene traslando quello di y=ax2, spiegazione della formula risolutiva dell'equazione di secondo grado. Esempi ed esercizi svolti in aula sul grafico di funzioni ottenute da una funzione elementare mediante traslazioni, riflessioni e composizioni con il valore assoluto.
24/10/19 ore 9-11. Le funzioni di tipo a/x e di tipo (a+bx)/(c+dx). Esercizi svolti in aula su: dominio, segno, monotonia, immagine di funzioni. Limitatezza, estremi superiore e inferiore, massimo e minimo assoluti di una funzione. Esempi e esercizi svolti in aula sulle nozioni spiegate.
29/10/19 ore 11-13. Numeri complessi, motivazioni, definizione del campo dei numeri complessi e delle sue operazioni, elementi neutri, esistenza degli opposti, piano complesso, modulo, coniugato, esistenza degli inversi, forma trigonometrica, modulo e argomento del prodotto di due numeri complessi, applicazione alle potenze intere positive. Esempi ed esercizi svolti in aula.
30/10/19 ore 11-13.
Esercizi sui numeri complessi. Tecnica di calcolo della forma trigonometrica. Radici n-esime complesse di 1, radici quadrate complesse di un reale positivo, cenni all'equazione di secondo di secondo grado in C, radici complesse di un polinomio reale di secondo grado con discriminante negativo.
Il simbolo di sommatoria. Fattoriale di un numero naturale, nozione di definizione ricorsiva, coefficienti binomiali. Enunciato della formula di Newton per la potenza n-esima di un binomio. Vari esempi sulle nozioni spiegate. Enunciato e spiegazione del principio di induzione.
31/10/19 ore 9-11.
Applicazioni del principio di induzione: disuguaglianza di Bernoulli, somma dei primi n numeri dispari, somma di una successione geometrica. Dimostrazione sintetica della formula per la somma dei primi n interi positivi. Spiegazione della formula ricorsiva per i coefficienti binomiali mediante l'interpretazione combinatoria.
Tecnica di calcolo della funzione inversa di una funzione invertibile, esempi ed esercizi svolti in aula. Altri esercizi: calcolo del dominio naturale e del segno di alcune funzioni.
Disuguaglianza triangolare: dimostrazione nel caso del valore assoluto, spiegazione del significato geometrico per il modulo dei complessi, disuguaglianza "inversa".
06/11/19 ore 11-13. Punti di accumulazione, intorni di +∞ e di −∞, definizione generale di limite e specializzazione della definizione in alcuni casi (punto di accumulazione finito o infinito, limite finito o infinito). Alcuni esempi sulle funzioni elementari. Il limite di 1/x per x che tende a 0 non esiste. Limiti da destra e da sinistra e limiti per eccesso e per difetto. Esempi ed esercizi svolti in aula.
07/11/19 ore 9-11. Definizione di continuità, limiti delle funzioni elementari. Aritmetica dei limiti: limite di una somma e di un prodotto, forme indeterminate del tipo +∞−∞ e 0·∞, esempi, limiti all'infinito di una funzione polinomiale.
12/11/19 ore 11-13. [ Un'ora di lezione e un'ora di verifica.] Limite di un quoziente, limiti con denominatore infinitesimo, forme indeterminate 0/0 e ∞/∞, limiti all'infinito delle funzioni razionali fratte. Tecnica generale per trattare i limiti di funzioni del tipo f(x)g(x). Verifica scritta sul programma svolto fino al 31 ottobre.13/11/19 ore 11-13. Limite della composizione di due funzioni, esempi ed esercizi svolti in aula. Confronto di infiniti: funzioni potenza, esponenziali e logaritmiche per x→+∞ (enunciato dei risultati e qualche dimostrazione). Altri limiti notevoli (xnax per x→−∞ e xαlogax per x→0+). Riduzione di una forma indeterminata di tipo +∞−∞ o 0·∞ a una forma indeterminata di tipo 0/0 o ∞/∞.
14/11/19 ore 9-11. Funzioni infinitesime, confronto di infinitesimi, il caso dei polinomi. Teorema del confronto, limite di x/sen x per x→0 e altri limiti derivati da questo (enunciati e dimostrazioni). Tecniche di calcolo dei limiti: vari esempi ed esercizi svolti sull'applicazione dei teoremi spiegati (limiti di somme, prodotti, quozienti, composizione di funzioni, limiti per sostituzione, risoluzione di forme indeterminate).
19/11/19 ore 11-13. Successioni, notazione e terminologia, successioni definite per ricorrenza. Limiti da destra e da sinistra delle funzioni monotone. Definizione del numero e, limiti di x/log(1+x) e di (ex-1)/x per x→0. Serie: definizioni, notazioni, esempi. Risultati completi sulle serie geometriche (enunciati e dimostrazione).20/11/19 ore 11-13. Convergenza o divergenza delle serie armoniche generalizzate: enunciato dei risultati, idee della dimostrazione, cenni alla relazione con gli integrali. Serie di Mengoli. Teorema di Cauchy sulla convergenza di successioni e di serie. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Serie a termini positivi, criteri del confronto, del confronto asintotico e del rapporto. Esempi ed esercizi svolti in aula.
21/11/19 ore 9-11. Criterio della radice. Serie a termini di segno qualunque, convergenza assoluta, implicazioni tra la convergenza assoluta e la convergenza, Teorema di Leibniz sulla convergenza delle serie a segno alterno (solo enunciati). Esempi ed esercizi svolti in aula su limiti di funzioni, successioni e serie.
26/11/19 ore 11-13. Svolgimento degli esercizi della prima verifica, spiegazione e discussione della correzione, consegna dei compiti corretti.27/11/19 ore 11-13. Definizione dei simboli di Landau, funzioni asintotiche, asintoti verticali orizzontali e obliqui. Punti di discontinuità, funzioni continue su un intervallo: enunciato dei teoremi dell'esistenza degli zeri e dei valori intermedi. Esempi ed esercizi svolti in aula.
28/11/19 ore 9-11. Teorema della permanenza del segno, schema della dimostrazione del teorema dell'esistenza degli zeri e deduzione del teorema dei valori intermedi. Immagine di un intervallo mediante una funzione continua. Radici reali di un polinomio di grado dispari. Monotonia delle funzione iniettive continue su un intervallo. Teorema di Weierstrass sulle funzioni continue su un insieme chiuso e limitato. Esercizi svolti in aula su dominio naturale segno e asintoti di funzioni.
03/12/19 ore 11-13. Tangente al grafico di una funzione, derivata, linearità della derivazione, la derivabilità implica la continuità (enunciato senza dimostrazione), punti di non derivabilità, calcolo diretto della derivata delle funzioni potenza con esponente positivo, esponenziali e logaritmiche, regola di derivazione delle potenze con esponente qualunque.
04/12/19 ore 11-13. Derivata di prodotti, quozienti e composizioni di funzioni, derivata della funzione inversa. Derivate delle funzioni trigonometriche dirette e inverse. Definizione di massimo o minimo locale. Relazione tra il segno della derivata prima e la monotonia: prime considerazioni e enunciato del teorema generale. Esercizi svolti in aula su serie, tangenti al grafico di una funzione, insieme di definizione, segno, asintoti e derivata di funzioni.
05/12/19 ore 9-11. Teorema di Fermat sui massimi e minimi locali interni a un intervallo, massimi e minini locali e globali di una funzione derivabile su un intervallo chiuso, Teoremi di Rolle e di Lagrange (enunciati, significato geometrico, dimostrazione del T. di Rolle), dimostrazione del teorema sulla relazione tra segno della derivata prima e monotonia debole, caso della monotonia forte, flessi orizzontali. Esercizi svolti in aula su insieme di definizione, segno, asintoti, intevalli di monotonia ed estremi locali e globali di funzioni.
10/12/19 ore 11-13. Teorema di de L'Hôpital e tecniche di calcolo dei limiti. Definizione di convessità. Esercizi svolti in aula.
10/12/19 ore 14-15. Seconda verifica.
12/12/19 ore 9-11. Conseguenze della definizione di convessità: monotonia dei rapporti incrementali, esistenza delle derivate destra e sinistra e continuità nei punti interni, posizione delle rette tangenti rispetto al grafico, relazione tra convessità e segno della derivata seconda, punti di flesso. Esercizi svolti in aula.
17/12/19 ore 11-13. Funzioni iperboliche. Esercizi svolti in aula.
18/12/19 ore 11-13. Polinomi di Taylor, teorema di Peano (enunciato e dimostrazione), esempi: serie di Mc Laurin delle funzioni ex e log(1+x). Esercizi di ricapitolazione.
19/12/19 ore 9-11. [Un'ora per la visione dei compiti corretti della seconda verifica e la spiegazione delle modalità del parziale e un'ora di lezione.] Applicazione del teorema di Peano: criterio per stabilire se un punto critico è o non è di estremo relativo. Esercizi di ricapitolazione.