26/09/18 ore 10-13.
Spiegazione dell'organizzazione del corso e indicazioni generali su come studiare.
Numeri naturali, interi e razionali, proprietà delle operazioni, struttura di campo dei numeri razionali, irrazionalitą di √2.
Descrizione dei numeri reali come numeri decimali.
Proprietà di densità dei razionali e degli irrazionali. Retta reale, intervalli reali. Richiami sull'unione e l'intersezione di insiemi. Prodotto cartesiano di due insiemi, il piano cartesiano.
Esempi e esercizi svolti in aula.
27/09/18 ore 11-14. Valore assoluto, definizione, significato geometrico, studio di semplici disequazioni. Maggioranti minoranti, massimo e minimo, estremi superiore e inferiore di un insieme di numeri reali, teorema di completezza. Esempi e esercizi svolti in aula. Richiami: parabole con asse verticale e segno di un polinomio di secondo grado. Radici n-esime di un numero reale, potenze con esponente razionale e con esponente reale, funzione esponenziale, definizione del logaritmo.
03/10/18 ore 11-14. Dominio, codominio, immagine, e grafico di una funzione. Funzioni potenza, esponenziale e logaritmo. Funzioni crescenti o decrescenti. Funzioni potenza con esponente intero positivo: intervalli di monotonia e grafico. Funzioni pari e funzioni dispari. Composizione di funzioni e funzione inversa. Relazione geometrica tra i grafici di una funzione e della sua inversa. Monotonia e grafico delle funzioni esponenziale e logaritmo. Applicazioni alle disequazioni: esercizi svolti in aula.
04/10/18 ore 11-14. Funzioni radice n-esima e funzioni 1/xn con n intero positivo: dominio naturale, monotonia e grafico. Composizione di funzioni monotone. Monotonia delle funzioni potenza con esponente reale qualunque. Proprietà delle potenze e dei logaritmi. Esercizi svolti in aula. Numeri complessi: definizione, rappresentazione sul piano complesso, somma e prodotto, opposto, coniugato, modulo e inverso.
11/10/18 ore 11-14. Esercizi svolti in aula su prodotti e inversi di numeri complessi. Forma trigonometrica di un numero complesso. Richiami sulle nozioni trigonometriche di base: misura in radianti, seno, coseno e tangente di un angolo. Estensione delle funzioni seno, coseno e tangente per periodicità, non invertibilità, restrizioni invertibili e funzioni trigonometriche inverse (arcoseno, arcocoseno e arcotangente). Forma trigonometrica del prodotto di due numeri complessi, notazione esponenziale, forma trigonometrica della potenza n-esima di un numero complesso. Esercizi svolti in aula su: determinazione della forma trigonometrica e calcolo delle potenze n-esime di numero complesso.
17/10/18 ore 11-14. Radici n-esime dell'unità in C, radici di un polinomio e divisibilità, molteplicità di una radice, enunciato del teorema fondamentale dell'algebra, radici complesse di un polinomio reale di secondo grado. Fattoriale di un numero naturale, coefficienti binomiali, formula di Newton per la potenza n-esima di un binomio. Svolgimento in aula dei compiti per casa (insieme di definizione e segno di funzioni). Ricapitolazione: insieme di definizione, monotonia, grafico e simmetrie delle funzioni potenza, esponenziale e logaritmo.
18/10/18 ore 11-14. Funzioni iniettive, suriettive e biunivoche, monotonia stretta e iniettività, restrizioni invertibili. Composizione di funzioni monotone, composizione di funzioni elementari. Funzione valore assoluto e composizione di una funzione con la funzione valore assoluto. Funzioni e trasformazioni geometriche: riflessioni della variabile dipendente o indipendente, traslazione della variabile dipendente o indipendente. Maggioranti e minoranti, limitatezza superiore e inferiore, estremi superiore e inferiore, massimo e minimo, punti di massimo e di minimo di una funzione reale. Esempi e esercizi svolti in aula.
24/10/18 ore 11-14. Distanza euclidea su R e nozioni di base della topologia euclidea: intorni sferici, intorni; punti di accumulazione, isolati, interni, esterni e di frontiera; insiemi aperti e chiusi; parte interna, chiusura e bordo di un insieme. Intorni di +∞ e di -∞. Definizione uniforme di limite e specializzazione della definizione ad alcuni casi particolari. Definizione di continuità. Limiti delle funzioni esponenziale e logaritmo. Limiti della funzione 1/x. Limiti da destra e da sinistra e limiti per eccesso e per difetto. Limiti di frazioni con denominatore infinitesimo.
25/10/18 ore 11-14. Approfondimento sulla definizione di limite: discontinuità eliminabile. Teoremi dell'unicità del limite, della permanenza del segno e del confronto (enunciato senza dimostrazione). Aritmetica dei limiti e forme indeterminate. Limiti di polinomi e di funzioni razionali a +∞ e -∞; generalizzazione a somme algebriche di potenze. Forme indeterminate per limiti di funzioni di tipo f(x)g(x). Limite di x⁄sen x per x→0 e altri limiti notevoli derivati da questo (enunciato e dimostrazione dei risultati). Esempi ed esercizi svolti in aula.
31/10/18 ore 11-14. Limiti delle funzioni elementari e trigonometriche dirette e inverse. Teorema sul limite di una composizione di funzioni, risoluzione di limiti per sostituzione. Confronto di infiniti (e infinitesimi), teorema sull'ordinamento degli infiniti per x→ ∞ per le funzioni potenza, esponenziali e logaritmiche e altri limiti notevoli riconducibili al rapporto di potenze ed esponenziali. Esercizi svolti in aula.
07/11/18 ore 11-14. Esercizi svolti in aula sul calcolo dei limiti. Successioni, successioni definite per ricorrenze, confronto degli ordini di infinito di an (a > 1), n! e nn (solo enunciato). Serie associata a una successione, serie a termini positivi, teorema sui limiti delle funzioni monotone (solo enunciato) e regolarità delle serie a termini positivi, relazione tra le somme delle serie ∑ (1/n) e ∑ (1/n2) e l'area dei sottografici di 1/x e 1/x2 per x≥ 1, serie di Mengoli, teorema del confronto per serie a termini positivi (solo enunciato), serie geometriche (casistica completa con dimostrazioni).
08/11/18 ore 11-14. Divergenza o convergenza della serie armonica e delle serie armoniche generalizzate (risultati senza dimostrazione). Teorema del confronto asintotico, del rapporto e della radice. Condizione necessaria per la convergenza di una serie e cenni al Criterio di Cauchy. Convergenza assoluta e convergenza semplice. Teorema di Leibniz sulle serie a termini di segno alterno (solo condizione sufficiente per la convergenza). Definizione del numero di Nepero e altri limiti notevoli (limite per x→±∞ di (1 + 1⁄x)x e limiti per x→0 di (1 + x)1⁄x, di log(1+x)⁄x e di (ex-1)⁄x. Esercizi svolti in aula. Definizione di asintoto (verticale, orizzontale, obliquo).
14/11/18 ore 12-14. Esercizi svolti in aula su: dominio naturale, segno e asintoti di funzioni.
15/11/18 ore 11-14. Simboli di Landau e equivalenza asintotica di funzioni. Continuità. Continuità da destra e da sinistra. Somma, prodotto, quoziente e composizione di funzioni continue. Funzioni massimo e minimo di due funzioni, parte positiva e parte negativa di una funzione. Funzione parte intera. Punti di discontinuità. Funzioni continue a tratti. Esempi e esercizi svolti in aula.
21/11/18 ore 11-14. Funzioni continue su un intervallo, teoremi degli zeri e dei valori intermedi, iniettività e monotonia. Esistenza delle radici dei polinomi reali di grado dispari. Esercizi svolti in aula.
22/11/18 ore 11-14. Condizioni sufficienti per la continuità dell'inversa di una funzione continua e iniettiva. Teorema di Weierstrass sull'esistenza del massimo e del minimo di una funzione continua su un compatto. Retta tangente al grafico di una funzione, derivabilità. Richiami sul coefficiente angolare e sull'equazione di una retta per due punti dati o per un punto dato e con coefficiente angolare assegnato. Calcolo della derivata delle funzioni costanti, potenza con esponente intero positivo, esponenziale e logaritmo in base e. Formula per la derivata delle funzioni potenza con esponente reale. Linearità della derivazione, derivata di un prodotto, di un quoziente e di una composizioni di funzioni.
28/11/18 ore 11-14. Derivata della funzione inversa. Derivata delle funzioni trigonometriche dirette e inverse. Punti di non derivabilità. La derivabilità implica la continuità. Definizione di estremo locale, teorema di Fermat sui punti di estremo locale (con dimostrazione), teoremi di Rolle (con dimostrazione) e di Lagrange (senza dimostrazione). Teorema sulla relazione tra monotonia e segno della derivata (enunciato nei casi della monotonia debole e forte, dimostrazione nel caso della monotonia debole). Esempi ed esercizi.
29/11/18 ore 11-14. Funzioni iperboliche. Regola di de l'Hôpital. Esempi e esercizi svolti in aula.
05/12/18 ore 11-14. Funzioni convesse su un intervallo, definizione, monotonia dei rapporti incrementali, esistenza delle derivate destra e sinistra e continuità nei punti interni, monotonia della derivata prima, posizione del grafico rispetto alle sue tangenti, segno della derivata seconda. Esempi ed esercizi svolti in aula.
06/12/18 ore 11-14. Polinomio di Taylor, Teorema del resto di Peano (enunciato e idee della dimostrazione), criterio per stabilire se un punto critico è di estremo relativo o no, sviluppi di Mc Laurin. Esercizi svolti in aula.
13/12/18 ore 11-14. Esercizi svolti in aula.
19/12/18 ore 11-13. Esercizi svolti in aula.
20/12/18 ore 11-13. Esercizi svolti in aula.