28/02/2022 ore 12 - 14. Definizione di Rn, somma di due vettori, prodotto di un vettore per uno scalare e prodotto scalare di due vettori. Proprietà della somma in Rn: commutatività, associatività, elemento neutro ed esistenza degli opposti. Vettori geometrici, somma di vettori applicati, prodotto di un vettore applicato per uno scalare, sistemi di riferimento nello spazio e coordinate, corrispondenza biunivoca tra l'insieme dei vettori applicati nell'origine e R3, compatibilità tra operazioni geometriche e operazioni algebriche. Combinazioni lineari di vettori in Rn.
02/03/2021 ore 11 - 13. Spazi e sottospazi vettoriali, definizioni ed esempi. Sottospazio nullo. Sottospazio generato da un insieme di vettori. Interpretazione geometrica in R3: retta generata da un vettore non nullo e piano generato da due vettori non collineari.
04/03/2021 ore 11 - 13. Svolgimento di alcuni esercizi del libro (2.5.6, 2.5.7, 2.5.9). Il sottospazio vettoriale generato dai un insieme di vettori è il minimo sottospazio vettoriale che contiene quei vettori: schema della dimostrazione. Esempi di insiemi di generatori: scrittura unica e scrittura non unica. Esempi di risoluzione di sistemi lineari con infinite soluzioni.
07/03/2022 ore 12 - 14. Sistemi di generatori, unicità della scrittura e indipendenza lineare. Dipendenza lineare. Esercizi svolti. Basi, coordinate, teorema fondamentale dell'algebra lineare, dimensione.
09/03/2021 ore 11 - 13. Completamento di un sottoinsieme linearmente indipendente a una base e estrazione di una base da un sottoinsieme di generatori (enunciati senza dimostrazione). Base canonica di Rn. Intersezione e somma di sottospazi vettoriali (dimostrazione che sono sottospazi), formula di Grassman (senza dimostrazione). Matrici, e operazioni tra matrici: struttura di spazio vettoriale, prodotto righe per colonne.
11/03/2021 ore 11 - 13. Proprietà delle operazioni tra matrici. Le colonne di AB sono combinazioni lineari delle colonne di A. Matrice trasposta e regola per la trasposta di un prodotto. Forma matriciale di una sistema lineare. Risoluzione e struttura dell'insieme delle soluzioni dei sistemi a scala.
14/03/2022 ore 12 - 14. Matrici a scala e sistemi a scala, algoritmo di eliminazione di Gauss, risolubilità e risoluzione dei sistemi a scala.
16/03/2021 ore 11 - 13. L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo è un sottospazio vettoriale. Sottospazi affini. Interpretazione geometrica dei sottospazi affini di R3. L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare risolubile è un sottospazio affine. Spazio delle colonne, spazio delle righe e rango di una matrice. Enunciato del teorema di risolubilità di un sistema lineare.
18/03/2021 ore 11 - 13. Conclusioni sul Teorema di Rouché-Capelli: enunciato completo e dimostrazione dell'enunciato sulla risolubilità. Applicazione dell'eliminazione di Gauss: calcolo del rango di una matrice, estrazione di una base da un insieme di generatori. Svolgimento e approfondimento di alcuni esercizi del capitolo 2 del libro di testo.
21/03/2022 ore 12 - 14. Tecniche di calcolo: somma e intersezione di sottospazi; estrazione di una base da un insieme di generatori e completamento a una base di un insieme linearmente indipendente; equazioni parametriche ed equazioni cartesiane di sottospazi vettoriali e affini.
23/03/2021 ore 11 - 13. Svolgimento di esercizi. Matrice identità, matrici invertibili, rango e invertibilità, calcolo della matrice inversa con l'algoritmo di Gauss esteso.
25/03/2021 ore 11 - 13. Applicazioni lineari: definizione, esempi e conseguenze immediate della definizione, sottospazi nucleo e immagine, generatori dell'immagine, struttura delle controimmagini. Svolgimento di esercizi.
28/03/2022 ore 12 - 14. Applicazioni lineari: nucleo e iniettività; estensione per linearità di una funzione definita su una base; formula delle dimensioni; tutte le applicazioni lineari da Rn a Rm sono moltiplicazioni per una matrice. Svolgimento di esercizi.
30/03/2022 ore 11 - 13. Applicazioni lineari: conseguenze della formula delle dimensioni, isomorfismi, ogni spazio vettoriale di dimensione n è isomorfo a Rn. Svolgimento di esercizi.
01/04/2022 ore 11 - 13. Basi e matrici di un'applicazione lineare, matrice di una composizione di applicazioni lineari, cambiamenti di base. Esempi ed esercizi svolti.
04/04/2022 ore 12 - 14. Determinante: definizione come funzione multilineare alternante delle righe; sviluppi di Laplace; effetto delle operazioni elementari di riga (colonna) sul valore del determinante e calcolo del determinante mediante la riduzione a scala. Esempi ed esercizi svolti.
06/04/2022 ore 11 - 13. Determinante e rango. Formula per la matrice inversa. Teorema di Binet. Formula chiusa per il determinante e regola di Sarrus. Esempi ed esercizi svolti.
08/04/2022 ore 11 - 13. Svolgimento di esercizi di riepilogo su determinanti, rango, dipendenza e indipendenza lineare, insiemi di generatori, basi, sistemi lineari, equazioni parametriche e cartesiane. Introduzione allo studio di autovalori, autovettori e diagonalizzabilità.
11/04/2022 ore 12 - 14. Autovalori e autovettori, polinomio caratteristico,diagonalizzabilità di endomorfismi e di matrici. Esempi ed esercizi svolti.
13/04/2022 ore 11 - 13. Richiami sui polinomi, molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Esempi ed esercizi svolti.
20/04/2022 ore 11 - 13. Esercitazione per il parziale. Conclusioni sulla diagonalizzabilità delle matrici reali: indipendenza lineare di autovettori relativi ad autovalori diversi; criterio di diagonalizzabilità in termini di molteplicità algebrica e geometrica degli autovalori.
27/04/2022 ore 11 - 13. Verifica in itinere del profitto.
29/04/2022 ore 11 - 13. Prodotto scalare canonico in Rn, norma, ortogonalità e angolo tra due vettori, proiezione ortogonale di un vettore lungo un altro vettore, metodo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Interpretazione geometrica per n=3.
02/05/2022 ore 12 - 14. Correzione della verifica in itinere. Basi ortogonali, proiezione ortogonale di Rn su un sottospazio, decomposizione ortogonale. Esempi ed esercizi.
04/05/2022 ore 12 - 14. Prodotti scalari, proiezioni ortogonali, ortogonalizzazione, decomposizione ortogonale nel caso generale. Teorema spettrale.
06/05/2022 ore 12 - 14. Rette e piani nello spazio, equazioni parametriche ed equazioni cartesiane, direzione ortogonale di una piano, parallelismo tra due rette, tra due piani, tra una retta e un piano.
09/05/2022 ore 12 - 14. Posizione relativa di una retta e di un piano, posizione relativa e intersezione di due rette, tecniche di calcolo.
11/05/2022 ore 11 - 13. Prodotto vettoriale e sue applicazioni, prodotto misto e sua interpretazione come volume. Proiezioni ortogonali e formule per le di distanze tra punti, rette e piani.
13/05/2022 ore 11 - 13. Prodotto misto, determinante, volume del parallelepipedo: conclusione delle dimostrazioni. Formula del determinante per l'equazione cartesiana del piano per tre punti. Esercizi di riepilogo.
16/05/2022 ore 12 - 14. Coniche: studio diretto del grafico per le equazioni in forma canonica, completamento dei quadrati riduzione alla forma canonica quando xy ha coefficiente nullo. Esempi ed esercizi.
18/05/2022 ore 11 - 13. Eccentricità di una conica. Matrice di una conica e classificazione delle coniche nel caso generale (enunciato senza dimostrazione). Esempi ed esercizi. Cenni alle quadriche. Rotazioni nel piano.
20/05/2022 ore 11 - 13. Forme bilineari e forme quadratiche. Forma canonica e forma normale di una forma quadratica. Esempi ed esercizi conclusivi.