01/03/2021 ore 11 - 13. Rn con le operazioni di spazio vettoriale, definizione e proprietà delle operazioni, esempi. Vettori geometrici, somma di due vettori e prodotto di un vettore per uno scalare, combinazioni lineari, due vettori non paralleli generano il piano che li contiene, associatività della somma, tre vettori non complanari generano lo spazio.
02/03/2021 ore 11 - 13. Sistemi di riferimento e coordinate, corrispondenza biunivoca tra l'insieme dei vettori applicati nell'origine ed Rn, compatibilità delle operazioni geometriche ed algebriche. Definizione generale di spazio vettoriale, combinazioni lineari, insiemi di generatori. Esempi ed esercizi.
04/03/2021 ore 12 - 14. Insiemi di generatori. Dipendenza e indipendenza lineare, basi. Indipendenza lineare e unicità della scrittura. Base canonica di Rn. Esempi ed esercizi. Sottospazi vettoriali. Intepretazione geometrica delle nozioni algebriche spiegate.
08/03/2021 ore 11 - 13. Sottospazio vettoriale generato da un insieme di vettori. Esempio: risoluzione di un'equazione e di un sistema lineari omogenei, verifica che le soluzioni formano un sottospazio vettoriale, scrittura delle soluzioni come sottospazio vettoriale generato da un sottoinsieme, base per l'insieme delle soluzioni. Enunciato: il numero di elementi di un sottoinsieme indipendente non può superare il numero di elementi di un insieme di generatori, deduzione dell'equicardinalità delle basi e definizione della dimensione. Estrazione di una base da un insieme di generatori e completamento di un insieme indipendente a una base: enunciato dei risultati.09/03/2021 ore 11 - 13. Estrazione di una base da un insieme di generatori e completamento di un insieme linearmente indipendente a una base: esempi costruttivi, idee delle dimostrazioni (costruttive) nel caso finitamente generato, approfondimenti e corollari. Intersezione e somma di sottospazi vettoriali, formula di Grassman, somme dirette.
10/03/2021 ore 16 - 18. Approfondimenti teorici ed esercizi svolti su sottospazi vettoriali, sistemi di generatori, indipendenza lineare, basi e dimensione. Matrici reali, somma di matrici e moltiplicazione di una matrice per uno scalare. Prodotto scalare di due vettori. Prodotto righe per colonne di due matrici. Analisi del prodotto di una matrice per un vettore colonna.
11/03/2021 ore 12 - 14. Proprietà delle operazioni tra matrici. Matrice trasposta, trasposta di un prodotto. Matrici quadrate, definizione di matrice inversa, di matrici triangolari, diagonali, simmetriche e antisimmetriche. Sistemi lineari, matrici di un sistema, equazione vettoriale equivalente. Sistemi triangolari non degeneri. Risoluzione dei sistemi a scala.
15/03/2021 ore 11 - 13. Eliminazione di Gauss, sistemi equivalenti, risolubilità e risoluzione dei sistemi lineari a scala. Esempi ed esercizi. Dimostrazione che le soluzioni di un sistema lineare omogeneo formano un sottospazio vettoriale.16/03/2021 ore 11 - 13. Sottospazi affini, definizione generale e significato geometrico. Struttura delle soluzioni dei sistemi lineari. Esempi ed esercizi. Spazi vettoriali associati a una matrice, rango e dimensione dello spazio nullo. Determinazione del rango mediante la riduzione a scala. Risolubilità di un sistema lineare e rango delle sue matrici.
17/03/2021 ore 16 - 18. Riepilogo del teorema di Rouché - Capelli, esempio di risoluzione completa di un sistema e di scrittura dello spazio delle soluzioni. Esercizi e tecniche di calcolo su: estrazione di una base da un insieme di generatori, base della somma di due sottospazi e dimensione della loro intersezione, completamento di un sottoinsieme linearmente indipendente di Rn a una base.
18/03/2021 ore 12 - 14. Applicazioni lineari, definizione ed esempi, applicazione lineare associata a una matrice, immagine e nucleo, generatori dell'immagine, nucleo e iniettività, struttura della controimmagine di un elemento.
22/03/2021 ore 11 - 13. Nucleo e immagine, formula delle dimensioni (dimostrata), conseguenze della formula, isomorfismi. Esercizi svolti sulle nozioni spiegate.23/03/2021 ore 11 - 13. Basi e coordinate, teorema di isomorfismo degli spazi vettoriali di dimensione n con Rn. Matrici di un'applicazione lineare, composizione di applicazioni lineari e prodotto di matrici. Esempi ed esercizi.
25/03/2021 ore 12 - 14. Invertibilità di un'applicazione lineare. Invertibilità di una matrice quadrata, condizione sul rango, algoritmo di Gauss completo per il calcolo dell'inversa. Determinanti, motivazioni, enunciato delle proprietà, definizione come funzione multilineare alternante delle righe, sviluppo di Laplace rispetto alla prima riga, esempi ed esercizi.
29/03/2021 ore 11 - 13. Sviluppi di Laplace. Esempi e approfondimenti sulle proprietà e sulle tecniche di calcolo dei determinanti. Formula chiusa per la matrice inversa. Esempi ed esercizi svolti.30/03/2021 ore 11 - 13. Applicazioni lineari, matrici, formule per il cambiamento di base. Calcolo del rango utilizzando il determinante. Permutazioni, trasposizioni, parità di una permutazione. Formula chiusa per il calcolo del determinante. Esercizi svolti.
08/04/2021 ore 12 - 14. Teorema di Binet e suo corollario sulla matrice inversa. Autovalori e autovettori di endomorfismi e di matrici: definizione, polinomio caratteristico, autospazi, definizione di diagonalizzabilità e triangolarizzabilità, basi di autovettori, esempi di endomorfismi senza autovalori o "con pochi autovettori" e esempi di endomorfismi diagonalizzabili.
12/04/2021 ore 11 - 13. Richiami sui polinomi: radici e fattori di primo grado, molteplicità di una radice. Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica di un autovalore. Criterio per la diagonalizzabilità (enunciato e schema della dimostrazione). La molteplicità geometrica non supera la molteplicità algebrica (solo enunciato). Autovettori relativi ad autovalori diversi sono linearmente indipendenti (enunciato e dimostrazione).13/04/2021 ore 11 - 13. Endomorfismi con autovalori distinti. Vari esempi ed esercizi ragionati su autovalori, autovettori e diagonalizzabilità.
15/04/2021 ore 12 - 14. Forme bilineari. Prodotti scalari, norma, disuguaglianza di Cauchy-Schwartz e disuguaglianza triangolare, coseno e angolo compreso tra due vettori, indipendenza dei sistemi ortogonali, proiezione di un vettore lungo un altro vettore, ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.
19/04/2021 ore 11 - 13. Versori e normalizzazione. Proiezione ortogonale su un sottospazio, richiami sulle somme dirette, decomposizione ortogonale di uno spazio euclideo rispetto a un sottospazio. Matrici ortogonali e basi ortonormali. Teorema spettrale per le matrici simmetriche reali.
20/04/2021 ore 11 - 13. Esempi ed esercizi svolti su autovalori e autovettori, insiemi linearmente indipendenti, basi e ortogonalizzazione, ortogonale di un sottospazio, diagonalizazione delle matrici simmetriche.
22/04/2021 ore 12 - 14. Ricapitolazione sugli spazi vettoriali associati a una matrice: spazio delle colonne e spazio nullo come immagine e nucleo di un'applicazione lineare, traduzione della formula delle dimensioni e teorema di Rouché-Capelli per i sistemi lineari omogenei, spazio nullo come ortogonale dello spazio delle righe, applicazione del teorema di decomposizione ortogonale e dimostrazione che lo spazio delle righe e lo spazio delle colonne hanno la stessa dimensione. Esercizi svolti su sottospazi ortogonali, ortogonalizzazione e proiezioni ortogonali.
26/04/2021 ore 11 - 13. Equazioni cartesiane ed equazioni parametriche di un sottospazio affine in Rn. Sottospazi affini paralleli. Equazioni parametriche e cartesiane della retta per due punti nello spazio. Punti non allineati, equazioni parametriche ed equazione cartesiana del piano per tre punti non allineati. Posizione relativa di due rette nello spazio, rette sghembe, controllo del parallelismo dalle equazioni parametriche.
27/04/2021 ore 11 - 13. Equazione cartesiana del piano e direzione normale.Posizione relativa di due rette e di una retta e di un piano: tecniche di calcolo mediate le equazioni parametriche della retta e studio teorico del sistema di equazioni cartesiane dell'intersezione. Coerenza delle nozioni algebriche di ortogonalità e di angolo di due vettori con le nozioni geometriche note. Prodotto vettoriale e prodotto misto, proprietà del prodotto vettoriale, formula di Lagrange e area del parallelogramma.
29/04/2021 ore 12 - 13. Terne destrorse e sinistrorse e verso del prodotto vettoriale. Prodotto misto, determinante e volume del parallelepipedo. Distanza tra punti, rette e piani.
03/05/2021 ore 11 - 13. Forme bilineari, matrice di una forma bilineare, cambiamenti di base, congruenza tra matrici. Forme bilineari simmetriche, similitudine e congruenza di una matrice simmetrica con una matrice diagonale. Forma quadratica associata a una forma bilineare simmetrica.
04/05/2021 ore 11 - 13. Riduzione alla forma canonica di una forma quadratica, riduzione alla forma normale, teorema di Sylvester. Introduzione alle coniche.
06/05/2021 ore 11 - 13. Coniche: studio diretto del grafico delle ellissi e delle iperboli dall'equazione canonica. Classificazione di una conica mediante la sua matrice. Caso speciale: completamento dei quadrati e riduzione esplicita alla forma canonica mediante una traslazione.
10/05/2021 ore 11 - 13. Coniche degeneri. Forme canoniche delle quadriche. Esercizi svolti su rette, piani, distanze.
11/05/2021 ore 11 - 12. Esercizi di ricapitolazione.