Ingegneria delle Costruzioni 2019-20
Algebra Lineare ed Elementi di Geometria (6 CFU)
Programma

Spazi vettoriali. Definizione di spazio vettoriale, combinazioni lineari, sottospazi vettoriali, insiemi di generatori, dipendenza e indipendenza lineare, basi e dimensione, spazi vettoriali di dimensione finita, coordinate. Prodotto scalare canonico e norma in Rⁿ, proiezioni ortogonali, basi ortogonali e ortonormali, procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Somma e intersezione di sottospazi, formula di Grassmann, somme dirette. Complemento ortogonale di un sottospazio. Sottospazi affini.
Applicazioni dell'algebra lineare alla geometria analitica. Angolo tra due vettori e proiezione di un vettore lungo un altro vettore. Prodotto vettoriale e prodotto misto di vettori, determinanti 3×3, area di un parallelogramma e volume di un parallelepipedo nello spazio. Equazioni parametriche e cartesiane di rette e piani nello spazio, vettore normale a un piano, nozione generale di parallelismo, rette sghembe, distanze tra rette, piani e punti.
Matrici e sistemi lineari. Somma e prodotto di matrici. Spazio delle righe, spazio delle colonne e rango di una matrice. Risolubilità e insieme delle soluzioni di un sistema lineare, Teorema di Rouché-Capelli. Algoritmo di eliminazione di Gauss. Algoritmo di Gauss esteso per il calcolo dell'inversa di una matrice quadrata.
Applicazioni lineari. Applicazioni lineari tra spazi vettoriali, nucleo e immagine, iniettività, suriettività, invertibilità e inversa di un'applicazione lineare. Matrice di un'applicazione lineare. Composizione di applicazioni lineari e prodotto di matrici. Cambiamenti di base.
Determinanti. Proprietà che definiscono il determinante, formule di Laplace, relazione tra il determinante e il rango, determinante delle matrici invertibili, formula per la matrice inversa. Teorema di Binet.
Autovalori e autovettori. Definizione di autovalore e di autovettore di un endomorfismo. Polinomio caratteristico e calcolo degli autovettori e degli autovalori. Basi di autovettori e diagonalizzabilità. Relazione tra gli autovalori e la traccia e il determinante di una matrice. Matrici simili. Diagonalizzabilità delle matrici simmetriche reali, basi ortogonali di autovettori, matrici ortogonali.
Forme bilineari e quadratiche, coniche e quadriche. Forme bilineari e forme quadratiche, prodotti scalari, spazi euclidei. Definizione come luogo geometrico e forma canonica delle coniche non degeneri. Matrice associata a una conica e classificazione delle coniche non degeneri per mezzo degli invarianti matriciali. Tecnica del completamento dei quadrati. Rotazioni nel piano. Cenni alle quadriche.