02/03/2020 ore 11 - 13. Rn con le operazioni di spazio vettoriale: definizione e proprietà della somma e del prodotto per uno scalare. Combinazioni lineari in Rn, esercizi svolti: stabilire se un vettore è combinazione lineare di alcuni vettori dati, esempi di sistemi lineari con infinite soluzioni, con soluzione unica, non risolubili. Definizione di sottospazio vettoriale, sottospazio nullo, sottospazio vettoriale generato da un vettore e sottospazio vettoriale generato da due vettori in R2: spiegazione geometrica. Definizione del sottospazio vettoriale generato da un insieme di vettori in Rn.
03/03/2020 ore 11 - 13. Definizione generale di spazio e di sottospazio vettoriale, esempio dei polinomi reali. Dimostrazione che Span(v1,...,vk) è il minimo sottospazio vettoriale che contiene v1,...,vk. Insiemi di generatori di uno spazio vettoriale, unicità o non unicità della scrittura, dipendenza e indipendenza lineare, basi, basi e unicità della scrittura (solo enunciato). Esempi ed esercizi svolti in aula.
12/03/2020 ore 9--10, online. Richiami con esempi su sottospazi vettoriali, insiemi di generatori, dipendenza e indipendenza lineare, basi.
16/03/2020 ore 11--13, online. Indipendenza lineare e unicità della scrittura, basi e coordinate, esistenza e equipotenza delle basi, dimensione. Completamento di un insieme linearmente indipendente a una base, estrazione di una base da un insieme di generatori. Intersezione e somma di due sottospazi, formula di Grassmann, somme dirette.
17/03/2020 ore 11--13, online. Matrici reali, somma di due matrici e prodotto di una matrice per una scalare, prodotto righe per colonne di due matrici, proprietà delle operazioni tra matrici. Il prodotto di una matrice per un vettore colonna è una combinazione lineare delle colonne della matrice. Matrice trasposta, trasposta di un prodotto. Matrici di un sistema lineare. Esempi di sistemi a scala: non risolubili, con soluzione unica, con infinite soluzioni. Algoritmo di Gauss per la riduzione a scala di una matrice.
19/03/2020 ore 9--11, online. Operazioni elementari di riga e sistemi equivalenti. Risultati generali sulla risolubilità e la risoluzione dei sistemi a scala, parametri, scrittura vettoriale della soluzione generale, soluzioni particolari. Applicazioni lineari, definizione di nucleo e immagine, applicazioni lineari da Rm a Rn, matrice rispetto alla base canonica e immagine, il nucleo è un sottosopazio vettoriale del dominio, iniettività e nucleo.
23/03/2020 ore 11--13, online. Applicazioni lineari, l'immagine è un sottospazio vettoriale del codominio, formula delle dimensioni, funzioni lineari invertibili, controimmagini, sottospazi affini, interpretazione geometrica dei sottospazi affini di R3, applicazione dei risultati sulle applicazioni lineari ai sistemi lineari, rango di una matrice, teorema di Rouché - Capelli.
24/03/2020 ore 11--13, online. Spazi vettoriali associati a una matrice, rango di una matrice a scala, calcolo del rango mediante riduzione a scala, approfondimenti sulle soluzioni dei sistemi omogenei, costruzione esplicita di una base, variabili libere e dimensione. Tecniche di calcolo: completamento di un sottoinsieme linearmente indipendente di Rm a una base di Rm, estrazione di una base da un insieme di generatori per sottospazi di Rn. Esercizi svolti in modo interattivo su: sistemi lineari, combinazioni lineari, dipendenza e indipendenza lineare, basi.
26/03/2020 ore 9--11, online. Ortogonale di un sottoinsieme e di un sottospazio, proiezione di un vettore su un altro vettore, basi ortogonali e ortonormali, metodo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio (tutto per il prodotto scalare canonico di Rn), decomposizione diretta ortogonale di Rn rispetto a un sottospazio, dimensione dell'ortogonale di un sottospazio. Interpretazione delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo come ortogonale dello spazio delle righe della sua matrice dei coefficienti, dimostrazione che la dimensione dello spazio delle righe coincide con la dimensione dello spazio delle colonne.
30/03/2020 ore 11--13, online. Ortogonale dell'ortogonale. Ogni sottospazio vettoriale di Rn è l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo. Ogni sottospazio affine di Rn è l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare. Matrici quadrate, triangolari, diagonali, matrice identità, inversa di una matrice quadrata, condizione sul rango necessaria e sufficiente per l'invertibilità, algoritmo per il calcolo della matrice inversa.31/03/2020 ore 11--13, online. Determinante, motivazioni, multilinearità e alternanza, le tre proprietà che definiscono il determinante, enunciato del teorema di esistenza e unicità del determinante, sviluppi di Laplace, determinante di matrici diagonali e triangolari, invarianza del valore assoluto del determinante rispetto all'eliminazione di Gauss, relazione tra il determinante e la dipendenza o indipendenza lineare delle righe o colonne, il rango.
02/04/2020 ore 9--11, online. Determinante e invertibilità, matrice dei cofattori, matrice aggiunta, prodotto di una matrice per la sua aggiunta, formula per la matrice inversa. Sistemi lineari di n equazioni in n incognite, condizione necessaria e sufficiente sul rango e sul determinante della matrice dei coeficienti per l'esistenza di un'unica soluzione e formula per la soluzione. Teorema di Binet, determinante della matrice inversa. Esercizi svolti su combinazioni lineari, dipendenza e indipendenza lineare, basi, insiemi delle soluzioni dei sistemi lineari.
06/04/2020 ore 11--13, online. Calcolo dei minori per stabilire il rango di una matrice di forma qualunque: enunciato, dimostrazione, esempi. Estensione per linearità: risultati, qualche dimostrazione, esempi. Isomorfismi di spazi vettoriali, ogni spazio vettoriale di dimensione n è isomorfo a Rn. Matrici di passaggio da una base a un'altra, formule il per cambiamento delle coordinate.07/04/2020 ore 11--13, online. Matrici di un'applicazione lineare tra spazi vettoriali di dimensione finita, definizione, esempi. Formule di collegamento tra le matrici di un'applicazione lineare rispetto a scelte diverse delle basi. Svolgimento dettagliato di alcuni esercizi su basi e coordinate, cambiamenti di base, matrici di un'applicazione lineare rispetto a basi diverse.
16/04/2020 ore 9--11, online. Applicazioni lineari, matrici e cambiamenti di base: approfondimenti e specializzazione al caso degli endomorfismi. Autovalori e autovettori di endomorfismi e di matrici quadrate: definizioni, determinazione degli autovalori, polinomio caratteristico, invarianza del polinomio caratteristico per cambiamenti base. Richiami su polinomi, radici e divisibilità, molteplicità di una radice. Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica di un autovalore. Esempi ed esercizi.
20/04/2020 ore 11--13, online. Diagonalizzabiltà e triangolarizzabilità di endomorfismi e di matrici reali. Enunciato dei teoremi: un endomorfismo è triangolarizzabile se e solo se il polinomio caratteristico ha tutte le radici in R; un endomorfismo è diagonalizzabile se e so lo se il polinomio caratteristico ha tutte le radici in R e le molteplicità algebrica e geometrica coincidono per tutti gli autovalori. Enunciato dei lemmi: la moltplicità geometrica non supera la molteplicità algebrica; autovettori relativi ad autovalori diversi sono linearmente indipendenti. Dimostrazione del teorema sulla diagonalizzabilità usando i due lemmi. Esercizi ed esempi.
21/04/2020 ore 11--13, online. Cenni alla dimostrazione dei lemmi sulla relazione tra molteplicità algebrica e moltplicità geometrica e sull'indipendenza lineare di autovettori relativi ad autovalori diversi. Matrici simmetriche reali, ortogonalità degli autovettori relativi ad autovalori diversi di una matrice simmetrica, matrici ortogonali, enunciato del teorema spettrale. Esempi ed esercizi.
23/04/2020 ore 9--11, online. Svolgimento ragionato di alcuni esercizi.
27/04/2020 ore 11--13, online. Svolgimento di alcuni esercizi. Prodotti scalari e spazi euclidei: definizione di forma bilineare, definizione di prodotto scalare, norma e metrica indotta da un prodotto scalare, disuguaglianza triangolare e disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, definizione dell'angolo tra due vettori. Ripetizione nel caso generale di nozioni e risultati spiegati per il prodotto scalare canonico di Rn: ortogonalità, sottospazio ortogonale di un sottoinsieme, proiezione ortogonale lungo un vettore, procedimento di Gram-Schmidt, ortogonalità e indipendenza lineare, basi ortogonali e ortonormali, proiezione ortogonale su un sottospazio, decomposizione di uno spazio euclideo come somma diretta di un sottospazio e del suo ortogonale.
28/04/2020 ore 11--13, online. Isometrie di uno spazio euclideo, definizione e proprietà, isometrie e basi ortonormali, matrice di una isometria ripetto a una base ortonormale. Sistemi di riferimento nello spazio e interpretazione geometrica di R3: terne reali, vettori applicati nell'origine e punti. Rette e piani nello spazio: equazioni parametriche delle retta passante per un punto fissato e parallela a un vettore fissato e della retta per due punti fissati; come si stabilisce se due rette descritte da equazioni parametriche sono uguali o diverse; equazioni parametriche del piano passante per un punto fissato e parallelo a due vettori indipendenti fissati e del piano per tre punti non allineati, soluzioni di una singola equazione in tre incognite, discussione del numero di equazioni che occorrono per la descrizione cartesiana di un piano e per la descrizione cartesiana di una retta nello spazio tridimensionale.
30/04/2020 ore 9--11, online. Passaggio dalle equazioni cartesiane alle parametriche e viceversa per una retta nello spazio. Studio della posizione relativa tra due rette nello spazio utilizzando le equazioni parametriche. Studio della posizione relativa tra due rette nello spazio utilizzando le equazioni catesiane. Definizione di parallelismo per sottospazi affini di Rn. Allineamento di tre punti nello spazio.Equazione cartesiana del piano passante per tre punti non allineati.
04/05/2020 ore 11--13, online. Equazione cartesiana di un piano e direzione normale al piano. Prodotto vettoriale: definizione e proprietà identità di Lagrange, norma del prodotto vettoriale e area del parallelogramma costruito su due vettori. Posisione relativa tra una retta e un piano.
05/05/2020 ore 11--13, online. Prodotto misto e volume del parallelepipedo costruito su tre vettori. Distanza di un punto da un piano, tra due piani, di una retta da un piano, di un punto da una retta, tra due rette parallele (o incidenti).
07/05/2020 ore 9--11, online. Distanza tra due rette sghembe. Svolgimento di alcuni esercizi.
11/05/2020 ore 11--13, online. Forme bilineari, matrice di una forma bilineare, cambiamenti di base e congruenza di matrici, forme bilineari simmetriche e forme quadratiche, radicale, forme di segno definito, semidefinito, non definito, forma canonica con gli autovalori sulla diagonale, forma normale, unicità della forma normale.
12/05/2020 ore 11--13, online. Approfondimenti, esempi ed esercizi sulle forme quadratiche e sui cambiamenti di base.
14/05/2020 ore 9--11, online. Cenni alle sezioni coniche, coniche come luogo di zeri di un polinomio di secondo grado in due variabili, matrice di una conica e motivazioni, riducibilità sui complessi e coniche degeneri, esempi di coniche degeneri, completamento dei quadrati nel caso in cui non compare il termine in xy, definizione generale delle coniche non degeneri in termini di direttrice, fuoco ed eccentricità, equazione canonica della parabola, equazione canonica dell'ellisse, studio diretto del grafico dell'ellisse dalla sua equazione canonica, centro, assi, vertici e fuochi, riduzione alla forma canonica e calcolo di centro assi, vertici e fuochi nel caso in cui non compare il termine in xy.
18/05/2020 ore 11--13, online. Studio diretto del grafico dell'iperbole dalla sua forma canonica, centro, assi, vertici, fuochi e asintoti, riduzione alla forma canonica e calcolo di centro assi, vertici, fuochi e asintoti nel caso in cui non compare il termine in xy. Matrice di una canonica, classificazione delle coniche non degeneri usando gli invarianti matriciali.
19/05/2020 ore 11--13, online. Cenni alle quadriche, matrice di una quadrica, forma canonica delle quadriche non degeneri, distinzione dei casi degeneri in base al rango, esempi di cilindri. Svolgimento e discussione di alcuni esercizi di ripasso.
21/05/2020 ore 9--12, online. Ripetizione delle principali definizioni e dei principali risultati su basi, coordinate, matrici di passaggio, matrici di un applicazione lineare e matrici di una forma bilineare. Svolgimento e discussione di vari esercizi di ripasso.