18/02/19 ore 11-13. Rn con le operazioni di spazio vettoriale: definizione e proprietà della somma e del prodotto per uno scalare. Interpretazione geometrica di Rn per n ≤ 3: operazioni di somma e prodotto per uno scalare sui vettori geometrici, sistemi di riferimento, coordinate e compatibilità tra le operazioni geometriche e le operazioni algebriche. Combinazioni lineari in Rn, sottospazio vettoriale generato da un insieme di vettori in Rn, interpretazione geometrica nel caso di R3.
19/02/19 ore 11-13. Definizione generale di spazio e sottospazio vettoriale. Esempi ed esercizi. Insiemi di generatori, unicità della scrittura, dipendenza e indipendenza lineare, basi: definizione ed esempi. Caratterizzazione della dipendenza lineare (enunciato e dimostrazione). Basi e scrittura unica (enunciato e spiegazione dell'enunciato).
25/02/19 ore 11-13. Basi e scrittura unica: dimostrazione dell'enunciato. Coordinate rispetto a una base fissata. Esempi: spazi di polinomi reali. Enunciato del teorema fondamentale dell'algebra lineare e definizione della dimensione. Base canonica e dimensione di Rn. Esercizi svolti in aula: stabilire se un vettore è combinazione lineare di un dato insieme di vettori, stabilire se un insieme di vettori è linearmente dipendente o indipendente. Esempi di sistemi lineari privi di soluzione o con infinite soluzioni. Introduzione alla risoluzione dei sistemi lineari con l'eliminazione di Gauss: matrice dei coefficienti e matrice completa di un sistema lineare, matrici quadrate, diagonale principale, matrici triangolari superiori e inferiori, definizione di sistema triangolare.
28/02/19 ore 12-14. Risoluzione di un sistema triangolare non degenere. Sistemi a scala: discussione dell'esistenza delle soluzioni e risoluzione, espressione dell'insieme delle soluzioni come sottospazio affine. Operazioni elementari di riga, invarianza delle soluzioni di un sistema lineare rispetto alle operazioni elementari di riga sulla sua matrice, procedura di eliminazione di Gauss.
04/03/19 ore 11-13. Esercizi svolti in aula su: risoluzione dei sistemi lineari con l'eliminazione di Gauss, combinazioni lineari, dipendenza lineare e basi. Sistema omogeneo associato a un sistema lineare, relazione tra le soluzioni di un sistema lineare qualunque e le soluzioni del sistema omogeneo ad esso associato. Prodotto scalare di due vettori in Rn, ortogonalità in Rn. Operazioni sulle matrici: prodotto di una matrice per uno scalare, somma e prodotto righe per colonne di due matrici. Espressione di un sistema lineare come equazione vettoriale.
05/03/19 ore 11-13. Proprietà delle operazioni tra matrici (enunciati senza dimostrazione). Definizione di matrice identità e di inversa di una matrice quadrata. Applicazioni lineari: definizione, nucleo e immagine, nucleo e immagine sono sottospazi vettoriali, l'immagine di un insieme di generatori genera il sottospazio immagine (enunciati e dimostrazione). Applicazione lineare da Rn a Rm data dalla moltiplicazione a sinistra per una matrice m × n: dimostrazione che le colonne della matrice sono le immagini dei vettori della base canonica del dominio e quindi generano l'immagine, studio del nucleo. Corollario: le soluzioni di un sistema lineare omogeneo formano uno spazio vettoriale. Esempi ed esercizi svolti in aula.
07/03/19 ore 12-14. Spazio delle righe, spazio delle colonne e spazio nullo di una matrice. Lo spazio delle righe e lo spazio delle colonne hanno la stessa dimensione: studio del caso delle matrici scala e riduzione del caso generale al caso delle matrici a scala. Rango di una matrice. Completamento di un insieme linearmente indipedente a una base e estrazione di una base da un insieme di generatori: enunciati generali, idee della dimostrazione e tecniche di calcolo. Enunciato senza dimostrazione: in uno spazio vettoriale di dimensione finita n, un insieme di generatori con n elementi è una base e un insieme linearmente indipendente con n elementi è una base.
11/03/19 ore 11-13. Relazione tra nucleo e iniettività; formula delle dimensioni di dominio, nucleo e immagine di un'applicazione lineare (enunciati e dimostrazione). Esempi ed esercizi svolti in aula su: calcolo del nucleo e dell'immagine e studio dell'iniettività e della suriettività di un'applicazione lineare. Applicazione ai sistemi lineari omogenei: la dimensione dello spazio delle soluzioni è uguale al numero delle incognite meno il rango della matrice dei coefficienti. Tecniche di calcolo: risoluzione di un sistema lineare omogeneo con l'eliminazione di Gauss e calcolo esplicito del rango della matrice dei coefficienti e di una base per lo spazio delle soluzioni.
12/03/19 ore 11-13. Risolubilità e insieme delle soluzioni di un sistema lineare non omogeneo e del sistema omogeneo ad esso associato. Esempi.Sottospazi affini. Interpretazione geometrica dei sottospazi vettoriali e dei sottospazi affini di R3. Intersezione e somma di due sottospazi vettoriali: definizione e dimostrazione che sono sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann: enunciato e parte della dimostrazione.
14/03/19 ore 12-14. Formula di Grassmann: fine della dimostrazione. Riepilogo sui sistemi lineari: enunciato completo dei teoremi di Rouché-Capelli. Enunciato senza dimostrazione: ogni sottospazio vettoriale o affine di Rn è l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare. Descrizione parametrica e descrizione cartesiana di un sottospazio vettoriale o affine. Equazioni parametriche della retta passante per due punti dati o passante per punto dato e avente direzione data, eliminazione del parametro e deduzione di un sistema di equazioni cartesiane. Condizione di non allineamento per tre punti nello spazio, equazioni parametriche del piano per tre punti non allineati, eliminazione dei parametri e deduzione dell'eqazione cartesiana. Parallelismo e uguaglianza di due rette descritte da equazioni parametriche.
18/03/19 ore 11-13. Calcolo dell'intersezione di due rette dello spazio descritte in forma parametrica. Definizione di parallelismo per due di sottospazi affini Rn. Posizione relativa tra due rette, due piani o una retta e un piano dello spazio descritti in forma cartesiana: applicazione del teorema di Rouché-Capelli. Proprietà del prodotto scalare (canonico) di Rn: simmetria, bilinearità e positività, disuguaglianza di Cauchy-Scwartz. Definizione della lunghezza di un vettore e del coseno dell'angolo e dell'ortogonalità tra due vettori in Rn. Dimostrazione che l'ortogonalità algebrica in R3 equivale all'ortogonalità geometrica. Proiezione di un vettore lungo un altro vettore e decomposizione ortogonale: posizione del problema e enunciato della soluzione.
19/03/19 ore 11-13. Proiezione di un vettore lungo un altro vettore e decomposizione ortogonale: conclusioni. Dimostrazione che la definizione generale del coseno dell'angolo tra due vettori, per n = 3 equivale a quella trigonometrica usuale. Equazione cartesiana e direzione normale di un piano nello spazio. Ortogonalità e parallelismo tra una retta e un piano nello spazio. Angolo tra due rette o tra due piani e cenni all'angolo tra una retta e un piano. Esercizi svolti in aula su rette e piani nello spazio. Prodotto vettoriale di due vettori in R3: bilinearità e antisimmetria, direzione, verso e lunghezza (enunciato e spiegazione delle proprietà), formula per il calcolo.
25/03/19 ore 11-13. Determinanti: enunciato delle proprietà e sviluppi di Laplace. Area di un parallelogramma, relazione tra il prodotto vettoriale e l'angolo tra due vettori. Prodotto misto, volume del parallelepido determinato da tre vettori. Formula del determinante per l'equazione del piano per tre punti dati. Distanza tra due sottoinsiemi dello spazio. Distanza di un punto da un piano. Esercizi svolti in aula.
26/03/19 ore 11-13. Distanza tra due piani e tra una retta e un piano. Distanza di un punto da una retta e tra due rette. Esercizi svolti in aula su prodotto vettoriale, rette, piani e distanze.
28/03/19 ore 12-14. Determinanti: spiegazione delle proprietà di multilinearità e alternanza, determinante di una matrice diagonale, effetto delle operazioni elementari di riga sul determinante, determinante di una matrice triangolare, relazione tra determinante, rango e invertibilità. Permutazioni, segno di una permutazione e formula per il determinante. Esempi ed esercizi svolti in aula.
01/04/19 ore 11-13. Formula per la matrice inversa, algoritmo per il calcolo della matrice inversa, esempi ed esercizi svolti in aula. Spiegazione della regola di Cramer. Regola dei minori invertibili per il calcolo del rango di una matrice. Criterio del determinante per stabilire se n vettori in Rn formano una base.
02/04/19 ore 11-13. Isomorfismi di spazi vettoriali. Ogni spazio vettoriale reale di dimensione n ` isomorfo a Rn. Cambiamenti di base, matrici del cambiamento di base tra la base canonica e una base arbitraria di Rn. Definizione generale della matrice di un'applicazione lineare. Relazione tra la matrice di un'applicazione lineare da Rn a Rm rispetto alle basi canoniche e la matrice rispetto a due basi qualunque. Esempi e esercizi svolti in aula.
04/04/19 ore 12-14. Conclusioni sui cambiamenti di base: matrice di passaggio da una base a un'altra e relazione tra le matrici di un'applicazione lineare rispetto a basi diverse nel caso generale. Determinante del prodotto di due matrici (solo enunciato del teorema di Binet) e determinante dell'inversa di una matrice. Autovalori e autovettori di un endomorfismo, basi di autovettori e diagonalizzabilità, determinazione degli autovalori e degli autovettori a partire dalla matrice rispetto a una base qualunque, vari esempi in R2.
08/04/19 ore 11-13. Definizione del polinomio caratteristico di un endomorfismo, dimostrazione che non dipende dalla base scelta. Richiami sui polinomi, cenni al teorema fondamentale dell'algebra, molteplicità di una radice. Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica di un autovalore. Esempi e esercizi svolti in aula.
09/04/19 ore 11-13. La molteplicità geometrica non supera la molteplicità algebrica: idea della dimostrazione, esempi in cui le due molteplicità coincidono o non coincidono. Definizione di matrice diagonalizzabile. Enunciati senza dimostrazione: l'unione di sottoinsiemi linearmente indipendenti contenuti in autospazi diversi è linearmente indipendente, un endomorfismo è diagonalizzabile se e solo se la somma delle molteplicità geometriche dei suoi autovalori è uguale alla dimensione dello spazio vettoriale. Esempi e esercizi svolti in aula.
11/04/19 ore 12-14. Indipendenza lineare di autovettori appartenenti ad autovalori diversi: dimostrazioni. Corollario: un endomorfismo di V con dim V autovalori distinti è diagonalizzabile. Condizione necessaria e sufficiente per la diagonalizzabilità. Esercizi svolti in aula: calcolo di autovalori e autovettori, studio della diagonalizzabilità, costruzione esplicita di una base di autovettori, diagonalizzazione della matrice di un endomorfismo.
15/04/19 ore 11-13. Trasposta del prodotto di due matrici, basi ortogonali e ortonormali, matrici ortogonali, endomorfismi simmetrici e matrici simmetriche, enunciato del teorema spettrale (unica dimostrazione fatta: autovettori relativi ad autovalori diversi sono relativamente ortogonali). Prime considerazioni sull'ortogonalizzazione di una base: il caso di due vettori. Esercizi svolti in aula.
16/04/19 ore 11-13. Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt (nel caso del prodotto scalare canonico). Richiami su somma, intersezione di sottospazi e formula di Grassmann. Somme dirette. Complemento ortogonale di un sottospazio in Rn rispetto al prodotto scalare canonico (definizione e enunciato delle proprietà). Esercizi svolti in aula.
29/04/19 ore 11-13. Proiezione ortogonale su un sottospazio e decomposizione in somma diretta ortogonale in in Rn rispetto al prodotto scalare canonico. Forme bilineari, matrice di una forma bilineare rispetto a una base qualunque, forma bilineare su Rn associata a una matrice quadrata, forme bilineari simmetriche, definite o semidefinite positive o negative, vettori isotropi. Esempi e esercizi svolti in aula.
30/04/19 ore 11-13. Forma quadratica associata a una forma bilineare simmetrica. Ortogonalità rispetto a una forma bilineare simmetrica, radicale, forme non degeneri. Forme bilineari e cambiamenti di base. Relazioni di similitudine e di congruenza sull'insieme delle matrici quadrate, il caso speciale delle matrici simmetriche reali. Riduzione di una forma bilineare simmetrica in forma diagonale con gli autovalori sulla diagonale. Esempi e esercizi svolti in aula.
02/05/19 ore 12-14. Riduzione di una forma bilineare simmetrica in forma diagonale con temini diagonali in {0, -1, 1}, indici di inerzia, segnatura, teorema di Sylvester. Relazione tra determinante e autovalori. Esempi e esercizi svolti in aula.
06/05/19 ore 11-13. Cenni alle sezioni coniche. Definizione uniforme delle coniche non degeneri come luoghi geometrici, in termini di eccentricità e distanze da un fuoco e da una direttrice, e deduzione delle equazioni canoniche. Centro, simmetrie, calcolo dei vertici e dei fuochi per l'ellisse e l'iperbole, e degli asintoti per l'iperbole a partire dall'equazione canonica, definizione alternativa dell'ellisse e dell'iperbole in termini delle distanze dai due fuochi.
07/05/19 ore 11-13. Completamento dei quadrati, riduzione alla forma canonica e determinazione di vertici, fuochi, assi, asintoti e grafico di una conica con equazione priva del termine in xy. Esempi e esercizi svolti in aula. Rotazione di un sistema di riferimento ortonormale del piano, matrice del cambio di coordinate. Matrice di una conica, cambiamento della matrice in seguito a una rotazione del sistema di riferimento.
09/05/19 ore 12.30-14. Esercizi svolti in aula. Matrice di una roto-traslazione nel piano, invarianti matriciali di una conica, criterio di non degenerazione e classificazione delle coniche non degeneri mediante gli invarianti matriciali.
13/05/19 ore 11-13. Classificazione delle coniche non degeneri, circonferenze, coniche degeneri: esempi e esercizi. Svolgimento di alcuni esercizi sui primi argomenti del programma.
14/05/19 ore 11-13. Quadriche, matrice di una quadrica, classificazione e forma canonica delle quadriche non degeneri, coni e cilindri in forma canonica. Svolgimento di alcuni esercizi sui primi argomenti del programma.
16/05/19 ore 11-13. Esercizi di ricapitolazione.
20/05/19 ore 11-13. Simulazione della prova scritta.
21/05/19 ore 11-13. Svolgimento alla lavagna e correzione della simulazione.